لطفاً به سوالات این صفحه کامل جواب بده و خیلی واضح مثل کتاب ریاضی بنویس؟

پاسخ تشریحی برای سوالات: 1. **در یک دنباله هندسی جمله‌ی سوم و جمله‌ی هفتم ۴۰ است. جمله‌ی اول کدام است؟** یک دنباله هندسی به فرم زیر است: \[ a_n = a \cdot r^{n-1} \] جمله سوم: \[ a \cdot r^2 \] جمله هفتم: \[ a \cdot r^6 \] نسبت جمله‌ی هفتم به جمله‌ی سوم برابر است با: \[ \frac{a \cdot r^6}{a \cdot r^2} = r^4 = \frac{40}{40} = 1 \] این نشان می‌دهد که \( r \) می‌تواند 1 یا -1 باشد. در هر دو حالت، جمله اول که \( a \) است، برابر 40 خواهد بود. 2. **جمله چهارم دنباله‌ی \( b_n = 3n - 5 \) کدام جمله‌ی دنباله‌ی \( a_n = n^2 - 5 \) برابر است؟** - برای \( b_n \) جمله چهارم: \[ b_4 = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \] - اکنون باید \( n \) را بیابیم که: \[ n^2 - 5 = 7 \] \[ n^2 = 12 \] \[ n = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] این عدد معقول نیست چون باید عددی صحیح باشد، بنابراین نمی‌توان جمله متناظر پیدا کرد. 3. **حاصل عبارت‌های داده شده با اتحاد مجموعه‌ها:** - الف: \( (-2,5) \cap (3,6) \) این دو بازه مشترکاتی ندارند، پس جواب برابر است با \( \emptyset \). - ب: \( (3,+\infty) \cup [2,4) \) این دو مجموعه با هم ترکیب شده و جواب \( (2,+\infty) \) می‌شود. - ج: \( (-\infty,6] \cap (2,9) \) اشتراک این دو مجموعه‌ \( (2,6] \) است. 4. **چند نفر فقط روزنامه A را می‌خوانند؟** کل افراد: \( 70 \) کسانی که روزنامه A می‌خوانند: \( 46 \) افرادی که هر دو روزنامه را می‌خوانند را \( x \) فرض می‌کنیم. پس افرادی که فقط روزنامه A را می‌خوانند: \[ 46 - x \] کسانی که روزنامه B می‌خوانند: \( 27 \) کسانی که هر دو را نمی‌خوانند: \( 12 \) کل برابر با مجموع افرادی که یکی یا هر دو روزنامه را می‌خوانند: \[ 70 = 46 + 27 - x + 12 \] \[ 70 = 46 + 27 - x + 12 \] با حل معادله به دنبال \( x \) بگردید. 5. **برای دنباله زیر یک الگوی هندسی رسم کنید:** \( 30, 120, 480 \) این دنباله به صورت ضرب در 4 تغییر می‌کند. الگوی هندسی می‌تواند شکل‌هایی در حال افزایش را نشان دهد، مثلاً مربع‌هایی که هر ضلع آن‌ها به نسبت \( \sqrt{4} \) افزایش می‌یابد. 6. **تعداد مثلث‌های رنگ‌شده در الگو:** شکل 1 دارای تعدادی مثلث سیاه و سفید است که با رسم دقیق و دیدن تعداد قابل شمارش است. - (ب) کدام مجموعه نامتناهی است؟ 3. اتم‌های کره زمین 口诀： حشرات ساکن زمین و درختان جنگل‌های ایران همواره پایان پذیر باید باشند، اما اتم‌ها بی‌پایان هستند.